Результаты совместного исследования ведущего научного сотрудника Лаборатории анализа и оптимизации нелинейных систем ИВТ СО РАН д.ф.-м.н. Сергея Петровича Шарого и профессора Института компьютерных наук Чешской академии наук (Institute of Computer Science, Prague, Czech Republic) Жири Рона (Jiri Rohn) опубликованы в журнале авторитетного научного издательства Elsevier. Научная статья под названием «Interval matrices: Regularity generates singularity» вышла в мартовском номере журнала «Linear Algebra and its Applications», входящего в первый квартиль журналов по версии SJR и Web Of Science.
Работа посвящена исследованию свойств интервальных матриц, более точно, решению важной проблемы распознавания особенности/неособенности интервальных квадратных матриц. Она повсеместно возникает при решении вопроса о том, ограниченно или неограниченно множество решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений с этой матрицей, т.е., фактически, при изучении адекватности интервальной модели каких-то конкретных явлений. В частности, информация такого сорта критична для решения задачи восстановления зависимостей по интервальным данным.
Рассказывает соавтор статьи, ведущий научный сотрудник Института вычислительных технологий СО РАН Сергей Петрович Шарый: «В традиционном неинтервальном случае выявление того, особенна или неособенна матрица, требует полиномиально сложных алгоритмов, но при переходе к интервальным матрицам задача приобретает комбинаторный характер, её сложность принципиально возрастает, и она становится уже NP-трудной. Напомним, что трудоёмкость решения таких задач, понимаемая как количество арифметических и логических операций разрешающего алгоритма, растёт в зависимости от размера задачи как экспонента, и нередко даже быстрее.
В этих условиях помимо алгоритмов, которые полностью решают задачу определения особенности/неособенности интервальной матрицы и обладают очень большой трудоёмкостью, требуются также относительно несложные необходимые или достаточные условия особенности и неособенности. На практике они позволяют быстро отсеять неприемлемые матрицы, так что применять трудоёмкие методы полного исследования матрицы нам придётся лишь в немногих пограничных случаях. Именно разработке таких простых достаточных условий особенности интервальных матриц посвящена опубликованная работа.
Её название немного эпатажно – «Interval Matrices: Regularity Generates Singularity», но, фактически, речь в ней идёт о том, что по специальному виду интервальной матрицы можно наверняка утверждать, что она особенна. Ясно, что при этом особенны и все интервальные матрицы, объемлющие данную, и это усиливает практическую значимость полученных результатов.
В качестве интересного побочного следствия техники, которая применяется в работе, мы предложили ввести в научный оборот понятие «диагонально вырождаемых матриц». Так названы матрицы, которые могут быть сделаны особенными (вырожденными) с помощью ограниченного по величине возмущения одних лишь диагональных элементов. Доказано, что для любой неособенной точечной матрицы либо она сама, либо обратная к ней обязательно являются диагонально вырождаемыми. Этот интересный факт почти очевиден в скалярном случае, но мы показали его справедливость и для матриц. Он тоже может быть использован для практического исследования особенности/неособенности интервальных матриц.»
